- Académicos de la UdeC y la UBB son, además, integrantes del Centro de Modelamiento Matemático de la U. de Chile
Recientemente fue publicado por Springer el libro The Virtual Element Method and its Applications, que compendia el actual estado del arte en esta área de la Matemática Aplicada, y más precisamente del Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales, a través de las contribuciones de científicos de diversos puntos del mundo, presentados en 13 capítulos, dos de los cuales cuentan con coautoría de integrantes del Centro de Investigación en Ingeniería Matemática, CI²MA, de la Universidad de Concepción.
Se trata de Gabriel N. Gatica, académico del Departamento de Ingeniería Matemática de la U. de Concepción, y de David Mora, actual Director del Departamento de Matemática de la U. del Bío-Bío, quienes colaboran con científicos extranjeros en la elaboración de sus manuscritos, siendo, además, los únicos autores latinoamericanos que contribuyeron con capítulos en dicho libro.
Mora y Alberth Silgado, estudiante del Doctorado en Matemática Aplicada de la UBB, coescribieron el capítulo titulado Virtual element methods for a stream-function formulation of the Oseen equations. Este trabajo, detalla Mora, “contiene resultados que se han obtenido en el desarrollo de la tesis de doctorado de Alberth” y agrega que “actualmente, continuamos trabajando en temas relacionados como, por ejemplo, esquemas numéricos de elementos virtuales para ecuaciones diferenciales parciales que modelan fenómenos de fluidos incompresibles no estacionarias”. Como un ejemplo de la extensión de la colaboración internacional que posibilita la obtención de resultados en la frontera del conocimiento, Mora informa que “por estos días, Alberth se encuentra desarrollando una estadía de investigación, junto a su codirector de tesis Lorenzo Beirao da Veiga, en la Universidad de Milano-Bicocca, Milán, Italia”.
En tanto, el capítulo desarrollado por Gatica y sus pares Salim Meddahi y Antonio Márquez, ambos de la Universidad de Oviedo (España), se titula A virtual marriage à la mode: some recent results on the coupling of VEM and BEM. En él, los investigadores presentan algunos resultados recientes sobre el uso combinado de ambos métodos, a saber, Virtual Element Methods (VEM) y Boundary Element Methods (BEM), para resolver problemas de transmisión lineal en dos y en tres dimensiones.
En particular, Meddahi tiene un historial de colaboración de casi 25 años con Gatica, y más recientemente con otros investigadores del CI²MA, tanto en la coautoría de una gran cantidad de manuscritos, como codirigiendo tesis. “Poco antes de la pandemia, Salim Meddahi, quien me visitaba acá en Concepción, me hizo ver que el método de elementos de frontera (sigla BEM en inglés), técnica que habíamos utilizado anteriormente en conjunto con el método de elementos finitos (FEM en inglés) para resolver diversos problemas en mecánica de medios continuos, poseía características muy propicias para ser combinado con el método de elementos virtuales (VEM en inglés)”, detalla Gatica.
“VEM es una metodología relativamente reciente que apunta a resolver numéricamente Ecuaciones Diferenciales Parciales, EDPs, utilizando descomposiciones poligonales o poliédricas relativamente arbitrarias del dominio”, continúa Gatica, “para lo cual se consideran como parte de los grados de libertad respectivos algunos valores polinomiales de la solución o de sus derivadas en las fronteras de los dominios involucrados, característica, esta última, que es propia también del BEM. Esta fue precisamente la observación principal de Salim. De acuerdo a ello, nos propusimos desarrollar el análisis combinado del BEM y el VEM para un problema de interacción entre las ecuaciones de Poisson y Laplace, lo cual efectivamente hicimos en un artículo publicado en 2019 en la revista SIAM Journal on Numerical Analysis, dando origen así al primer trabajo que utilizo el acoplamiento entre el BEM y el VEM para resolver problemas de transmisión. Un año más tarde extendimos lo anterior a problemas de dispersión acústica en 2 y 3 dimensiones, lo cual generó un segundo trabajo publicado en Journal of Numerical Mathematics”.
“Posteriormente, y me imagino a raíz de los avances descritos, recibimos la invitación de los editores a contribuir un capítulo en este libro, e involucramos también a Antonio Márquez, del Departamento de Construcción e Ingeniería de Fabricación, de la U. de Oviedo, de modo que procedimos a desarrollar en conjunto una presentación unificada de los principales aportes de los trabajos ya publicados”, narra Gatica. “Un aspecto interesante de nuestro capítulo es que se resalta de mejor manera un subproducto de nuestro análisis, el cual consiste en una nueva forma de desarrollar el acoplamiento entre BEM y FEM, idea que surgió de manera natural al tratar de extender nuestros resultados al caso de 3 dimensiones”.
“Hoy en día ha crecido considerablemente la comunidad internacional de analistas numéricos trabajando sobre el uso combinado del VEM, no sólo con el BEM, sino que también con diversas otras metodologías numéricas”, concluye Gatica. —